「SIX」と書かれている赤枠のマスは半分に分かれているので、左に「ろ」右に「く」が分かれて入ります。

日本語に直すと「ろ」「うそ」「く」となるので、答えは「ろうそく」です。

4つのイラストは「カレー」「ゼリー」「チョコレート」「スプーン」です。

上の枠から「チョコレート」「カレー」「ゼリー」「スプーン」の順に入り、数字の順に読むと、答えは「プレゼント」です。

「盤面について」を読むと、シミの部分には必ずイラストがあって、αのイラストが4つ、βのイラストが5つ描かれてたとあります。αとβのうち、どちらが通るべきイラストでしょうか。

ルールを見ると、「αのイラストは必ずすべて通る」とあります。つまり、通るべきマスの数は「4」箇所です。

迷路のルールの下に通ったカタカナを埋めるマスがあります。そのマスの数を数えましょう。

解答欄は「12」マスあります。
つまり、シミを「4」箇所、カタカナを「12」文字通るルートが正しいルートです。

右上、右下、左上のどの場所についても同じような考え方で解けますが、ここではまず左上の2箇所について考えてみましょう。
左上の2箇所のシミをどちらも通るルートはあるでしょうか。

2箇所どちらも通ろうとすると、必ず1回通ったマスをもう一度通ることになってしまいます。
ルールで同じマスを2回以上通るのは禁止されているため、2箇所どちらも通ることは「できない」ようです。

右上、右下の2箇所も同様に考えると、2箇所どちらも通ることはできません。
では、3つの場所のどこかでシミを1つも通らないルートを選んだ場合、シミを4箇所通ることはできるでしょうか。

例えば、右上でシミを通らなかった場合、シミを4箇所通るには右下、左上のどちらかでシミを2箇所通らなければならなくなります。しかし2箇所どちらも通ることはできないことがわかっています。つまり、シミを「4」箇所通るには、右上、右下、左上にあるシミの「どちらか1箇所通る」ルートをそれぞれで選ぶ必要があります。

ルートの候補を考えるとこのようになり、実線部分は必ず通ることが確定します。

次は左下のシミについて考えてみましょう。

右上、右下、左上で1箇所ずつ通るので、シミを4箇所通るには左下のシミは必ず通ることになります。
とすると、左下はどのようなルートが考えられるでしょうか。

左下のルートは次の2通りが考えられます。

次はカタカナに注目して考えましょう。

「修復についてのメモ」から、正しいルートはカタカナを12文字通るルートだとわかっています。
先ほど導いたルートの候補それぞれで、カタカナを何文字通るのかを整理してみましょう。

このように色のついているマスのカタカナ7文字は通ることが確定しています。

よって、あと5文字通るルートを考えましょう。

確定しているカタカナを除くと、右上のルートは0文字か2文字、右下は0文字か2文字、左上は0文字か1文字、左下は0文字か6文字通るルートがあります。
これらから合計5文字通る組み合わせを考えましょう。

正しいルートはこのようになります。

このルートで通ったカタカナを順に解答欄に埋めましょう。

通った文字を順に解答欄に埋め、線でつながれている通りに並べ替えると、「ブラック」「スマイル」「ハンマー」という3つの単語ができます。
嬉しい時に関係する言葉が答えなので、答えは「スマイル（すまいる）」です。